在破解“立方体的总和”拼图中42岁,数学家解决了几十年专家已经难以置信的问题

代数数学

这个存在了几十年的问题的21位解决方案表明存在更多的解决方案。

在解决生命的答案,宇宙和一切之后,你做了什么?如果你是数学家德鲁桑德兰和安迪的赌场,你就会越来越难。

2019年,Booker,在布里斯托尔大学和Sutherland,首席研究科学家麻省理工学院是第一个找到42题答案的人。这个数字具有流行文化意义,因为它是道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)在他的著名小说《银河系漫游指南》(The Hitchhiker’s Guide to The Galaxy)中所写的“关于生命、宇宙和一切的终极问题”的虚构答案。至少在小说中,引发42题的问题是令人沮丧而又滑稽的未知。

在数学中,完全巧合的是,存在一个多项式方程,其答案是42,几十年来数学家们也同样难以理解。方程x3.+ Y.3.+ Z.3.=k被称为立方体和问题。尽管看起来很简单,但当把这个方程框定为“丢潘图方程”时,它就会变得指数级地难以求解——这个问题规定,对于任意k值,x、y和z的值都必须是整数。

当以这种方式帧框架的框架总和时,对于k的某些值,x,y和z的整数解决方案可以增长到巨大的数字。数学家必须在这些数字中搜索的数字空间仍然更大,需要复杂和大量计算。

多年来,数学家通过各种手段进行管理来解决方程,要么找到一个解决方案或确定不得存在的解决方案,对于1到100之间的每一个值 - 除了42之外。

42的立方体解决方案的总和

2019年9月,研究人员利用全球50万台家用电脑的总功率,首次找到了42台电脑的解决方案。这一被广泛报道的突破促使该团队着手解决一个更困难、在某种程度上更普遍的问题:为《3》寻找下一个解决方案。资料来源:Christine Daniloff,麻省理工学院

2019年9月,第一次利用了世界各地半百万家庭电脑的综合力量找到了42的解决方案。这一被广泛报道的突破促使该团队着手解决一个更困难、在某种程度上更普遍的问题:为《3》寻找下一个解决方案。

Booker和Sutherland现已发布42和3的解决方案,以及最近的其他几个数字大于100国家科学院的诉讼程序

拿起手套

等式的前两个解决方案x3.+y3.+z3.对于任何高中代数学生可能是显而易见的,其中x,y和z可以是1,1和1或4,4和-5。然而,找到第三个解决方案已经陷入了困难的专家号理学家,几十年来,在1953年,拼图提示开创Mathematician Louis Mordell,提出问题:甚至可能知道是否存在其他3个解决方案?

“这有点像Mordell扔掉了手套,”Sutherland说。“解决这个问题的兴趣对于特定的解决方案并不是那么多,而是更好地了解这些方程式的努力。这是我们可以衡量自己的基准。“

由于几十年来没有3个新的解决方案3,许多人开始相信没有找到。但在找到答案后,在42,Booker和Sutherland的方法中,在一个令人惊讶的时间内,请在下一个解决方案中出现3:

5699368212219623807203.+(−569936821113563493509)3.+(-472715493453327032)3.= 3

发现是默德尔的问题的直接答案:是的,可以找到下一个解决方案到3,以及以下是解决方案。也许更普遍地,解决方案,涉及到现在不能筛选的巨大21位数字,表明存在更多的解决方案,3和其他值的k。

“数学和计算社区有一些严重的怀疑,因为[Mordell的问题]非常难以测试,”Sutherland说。“数字这么速得这么大。你永远不会找到超过前几个解决方案。但是我能说的是,找到了这个解决方案,我相信那里有更多的东西。“

一个解决方案的转折

为了找到42和3的解决方案,团队以现有的算法开始,或者将立方体方程的总和扭曲成他们认为的形式将更可管理:

kz3.=x3.+y3.=(x+y)(x2XY.+y2)

这种方法首先由数学家罗杰Heath-Brown提出,他猜明了每种合适的k应该具有无限的解决方案。该团队通过将X + Y表示为单个参数而进一步修改了算法。然后,它们通过将两侧除以D并只保持其余的剩余时间来减少方程式 - 数学中的操作被称为“Modulo D” - 留下了对问题的简化表示。

“现在你可以把k看成z的立方根,取d的模,”萨瑟兰解释道。“想象一下,在一个算法系统中,你只关心对d取模的余数,我们试图计算k的立方根。”

通过这种Sleeker版本的等式,研究人员只需要查找D和Z的值,这将保证为k = 3找到x,y和z的最终解决方案。但仍然,他们必须搜索的数字空间将是无限的。

因此,研究人员通过使用数学“筛分”技术来优化算法,从而大大减少了D的可能解决方案的空间。

萨瑟兰说:“这涉及到一些相当先进的数论,利用我们所知道的数字域的结构来避免去看我们不需要看的地方。”

全球任务

该团队还开发了有效地将算法的搜索有效地分成数十万并行处理流。如果算法仅在一台计算机上运行,​​则将花费数百年来找到k = 3的解决方案。通过将作业分成数百万较小的任务,每个任务都在单独的计算机上独立运行,团队可以进一步加速他们的搜索。

2019年9月,研究人员通过“慈善引擎”(Charity Engine)开始实施他们的计划。任何个人电脑都可以免费下载该项目的应用程序,该项目旨在利用任何闲置的家庭计算能力共同解决困难的数学问题。当时,“慈善引擎”的网格由全世界40多万台计算机组成,布克和萨瑟兰能够在网络上运行他们的算法,作为对“慈善引擎”新软件平台的测试。

“对于网络中的每一台计算机,他们都被告知,‘你的工作是寻找质因数在这个范围内的d,这取决于一些其他条件,’”萨瑟兰说。“我们必须弄清楚如何将这项工作划分为大约400万个任务,每一个任务需要电脑大约3小时才能完成。”

很快,全球网格将第一个解决方案归还K = 42,只需两周后,研究人员确认他们已经发现了k = 3的第三种解决方案 - 一个里程碑,部分地通过打印方程式标记T恤。

k=3的第三个解存在的事实表明希斯-布朗最初的猜想是正确的,除了这个最新的解之外,还有无限多个解。Heath-Brown还预测解之间的空间会随着搜索量呈指数增长。例如,与第三个解的21位值不同,x、y和z的第四个解可能会包含令人难以置信的28位数字。

“The amount of work you have to do for each new solution grows by a factor of more than 10 million, so the next solution for 3 will need 10 million times 400,000 computers to find, and there’s no guarantee that’s even enough,” Sutherland says. “I don’t know if we’ll ever know the fourth solution. But I do believe it’s out there.”

参考:“在Mordell问题上由Andrew R. Boker和Andrew V. Sutherland,3月10日,第20211号,国家科学院的诉讼程序
DOI: 10.1073 / pnas.2022377118

这项研究部分由西蒙斯基金会得到支持。

[编者的说明(3月23日,2021年3月):将文章中的“整数”的引用用“整数”替换为允许负值。]

5个评论在破解了42个“立方体和”的难题后,数学家们解决了困扰专家们几十年的难题

  1. 真主

  2. 42是答案。谁不知道?对任何人来说,“工作”项目几乎没有后果,可能是数学极客的例外。我更关心的是,一个人如何获得半百万计算机的加工能力,全球......对!通过“云”。我想知道:自ITT,ATT和IBM现在控制该资源,他们仍然有权限到位,还是所说的所有计算机和手机中的“编程在”功能中的“编程”功能?嗯......是5G和微交易重合吗?在等待Covid的治疗过程中思考的东西......

  3. 杰森皮特塞斯|3月23日,2021年2:22|回复

    如果x,y和z都是一个整体集,x,y和z都可以作为单独的变量作为单独的变量,因为它们都作为一个绝对集存在。

  4. 当第3段表示“x,y和z的值必须每个都是整数”时,我几乎停止了读数,并且下一段表示它们是整数解决方案。

    • 谢谢你的评论。在该段落中的“整数”已被允许的“整数”替换为允许负数。

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