“朋友和陌生人”定理 - 数学教授在Ramsey号码中突破

Ramsey号码

您需要在派对上需要多少人保证至少有三个人彼此认识,或者至少三个人彼此不了解?用笔和纸张用笔工作可能需要一段时间,但许多数学家将很容易告诉你答案是六。这一党的情景,也称为“朋友和陌生人”定理,是基于一个被称为Ramsey数字的概念,以20世纪初的英国数学家弗兰克里姆齐的命名。

现在,想象一下,邀请更多的人参加这个假设的党。有多少人需要确保至少有五个人彼此认识,或者相反,至少五个是陌生人?答案尚不清楚。实际上,数学家只知道所需人数的数量至少是43且不超过48.实际答案落在这个范围内但是未知的。在派对上增加更多人,并且问题的不确定性很快就会变得巨大。

现在,在几十年来,CALTECH of Mathematics David Conlon教授和他的UC IRVINE的同事ASAF Ferger已经缩减了指数金额的不确定性,对于称为多色Ramsey数字的Ramsey数字。研究人员描述了他们在学习中出现的研究中的工作数学进展。

“数学中最顽固的数字之一终于萌芽了,”凯文哈尼特写在一个关于Quanta杂志研究的文章。

“解决方案非常迅速,”康伦说。“实际上,我们很惊讶它效果如此。”

数学家考虑以行连接的点形式的RAMSEY数字问题,它们调用图形。上面示例中聚会的人基本上是这些图表中的点。如果个人相互了解,则会在其各自的点之间绘制一种颜色的一线。如果他们彼此不了解,他们将通过红线连接。

在上述情况的情况下,有六个人参加聚会,至少有三个人彼此认识,或者至少有三个人彼此不了解。因此,在代表这种情况的图表上,将至少有一个蓝色三角形或一个红色三角形。

“我们对这些情景出现的模式感兴趣,”康伦说。“Ramsey号码告诉我们,即使事情看起来混乱,仍然存在模式。”

在新的研究中,Conlon和Ferber看着Ramsey数字,其中三种或更多种颜色用于连接图中的点(因此术语“多色”)。例如,如果使用颜色蓝色,绿色和红色来连接点,则需要17个点来保证至少一个蓝色或一个红色或一个绿色三角形。从上面的双色示例中,我们知道它只需要六点以保证一个红色或一个蓝色三角形。基本上,在具有多种颜色的场景中需要更多的点。

此外,当数学家想要识别不识别三角形但包含四个,五个或更多点的形状时,对于多色问题,所需点总数的不确定性升高。

对于他们的工作,Conlon和Ferber使用了一种新型的证据来通过指数量来缩小多色Ramsey不确定性。他们说,他们使用混合方法来混合较旧的策略,其中随机性进入比赛,具有更新的更新策略。

“我们发现有一种更好的方法来解决问题而不是在随机上色点之间的连接,”Conlon说。“我们将这种方法与我们确切地知道我们着色某种颜色的内容。”

Conlon说他现在正在回到双色Ramsey号码的问题。对于2009年的博士工作,他自1935年以来取得了重大改进,减少了解决方案的不确定性。他说,为了真正对这种问题进行了巨大的改进,所以需要完全新的东西。

“双色案例可能需要如此重要的新想法,即我认为数学在其他未解决的数学问题上有用,”康伦说。“在数学中,你开始出来,因为你对自己的缘故感兴趣,但进一步下行,因其他原因而变得重要或有趣。”

参考:David Conlon和Asaf Ferber,2020年12月9日的“多色Ramsey号码的下界”,数学进展。
DOI:10.1016 / J.AIM.2020.107528
CALTECHAUTHORS:20201216-111908862

该研究由国家科学基金会资助。

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